فراکتال‌ به زبان ساده؛ الگوی شگفت‌انگیز کاشی ایرانی، رعدوبرق و آنتن موبایل!

تابه‌حال به شاخه‌های درخت، رگ‌های بدن یا رعدوبرق دقت کرده‌اید؟ شباهت عجیب آن‌ها تصادفی نیست و ردپای فراکتال‌ها را در طبیعت نشان می‌دهد. برخلاف اشکال ساده مانند دایره یا مربع، فراکتال‌ها پر از جزئیات پیچیده‌اند که در هر مقیاسی تکرار می‌شوند و همین، آن‌ها را خاص و زیبا می‌کند.

این ساختارها فقط به طبیعت محدود نمی‌شوند؛ در ریاضیات، یک فرمول ساده مانند مجموعه‌ی مندلبرو می‌تواند الگویی بی‌نهایت پیچیده بسازد که در علوم و فناوری کاربردهای زیادی دارند. از الگوی رشد برگ‌ها و شبکه‌های عصبی تا فشرده‌سازی تصاویر (JPEG 2000)، طراحی آنتن‌ها (آنتن تلفن همراه) و حتی مدل‌سازی بازارهای مالی، فراکتال‌ها همه‌جا هستند.

مطالعه‌ی فراکتال‌ها نه‌تنها به ما کمک می‌کند تا الگوهای پنهان جهان را بهتر بفهمیم، بلکه راه را برای پیشرفت در فناوری و درک عمیق‌تر طبیعت باز می‌کند. فراکتال‌ها نشان می‌دهند که چگونه قوانین ساده می‌توانند جهانی پر از شگفتی و پیچیدگی خلق کنند.

فراکتال‌ها (Fractals) الگوهای هندسی تکرارشونده‌ای هستند که در مقیاس‌های مختلف، ساختاری مشابه دارند. به بیان ساده‌تر، اگر بخش کوچکی از یک فراکتال را بزرگ کنیم، همان الگو را در ابعاد کوچک‌تر مشاهده خواهیم کرد؛ این ویژگی را به‌نام خودمتشابهی می‌شناسیم.

از نظر هندسی، فراکتال‌ها بین ابعاد معمولی که می‌شناسیم قرار دارند؛ آن‌ها نه یک‌بعدی هستند، نه دوبعدی و نه سه‌بعدی، بلکه ابعادی مابین اعداد صحیح مثبت دارند. به‌همین دلیل، شکل‌هایی که غیرممکن به نظر می‌رسند، در واقع از یک نظم خاص پیروی می‌کنند.

بدون آنکه متوجه شده باشید، بارها فراکتال‌ها را در طبیعت دیده‌اید؛ در شاخه‌های درختان، مسیر رودخانه‌ها، خط ساحلی، کوه‌ها، ابرها، گرداب‌های دریا و حتی طوفان‌ها. این شباهت، تصادفی نیست، بلکه نشان‌دهنده‌ی یک الگوی عمیق و تکرارشونده در طبیعت است.

علاوه‌بر فراکتال‌های طبیعی، ما می‌توانیم فراکتال‌های انتزاعی را هم با استفاده از ریاضیات ایجاد کنیم. به‌عنوان مثال، مجموعه‌ی مندلبرو یکی از معروف‌ترین فراکتال‌ها است که تنها با اجرای یک معادله‌ی ساده روی کامپیوتر، شکل‌هایی فوق‌العاده پیچیده و بی‌پایان تولید می‌کند. این یعنی از قوانین ساده، می‌توان ساختارهای بسیار پیچیده و شگفت‌انگیزی به‌وجود آورد.

مجموعه‌ی مندلبرو یکی از شگفت‌انگیزترین ساختارهای ریاضی است که با یک فرمول ساده ساخته می‌شود، اما رفتاری بی‌نهایت پیچیده دارد. این مجموعه براساس یک فرایند تکرارشونده (iteration) شکل می‌گیرد:

۱. یک عدد را انتخاب کنید.

۲. آن را در خودش ضرب و یک مقدار ثابت به آن اضافه کنید.

۳. این محاسبه را بارها و بارها تکرار کنید.

اگر نتیجه‌ی نهایی بیش‌ازحد بزرگ نشود، آن عدد متعلق به مجموعه‌ی مندلبرو است. اگر بزرگ شود، از مجموعه بیرون می‌افتد.

در ادامه، دو مثال ساده را با یکدیگر بررسی می‌کنیم. در مثال اول، c را برابر یک و مقدار اولیه‌ی z را برابر صفر در نظر می‌گیریم. در این حالت، مقدار z به‌سرعت افزایش می‌یابد. در نتیجه، c=1 از مجموعه‌ی مندلبرو خارج می‌شود. در مقابل، اگر مقدار اولیه‌ی z و c به‌ترتیب برابر صفر و ۱- باشند، مقدار z بزرگ‌تر از دو نمی‌شود. بنابراین، مقدار c=-1 داخل مجموعه قرار می‌گیرد.

وقتی این محاسبات را برای تعداد زیادی عدد انجام دهیم و آن‌ها را روی صفحه رسم کنیم، شکلی شگفت‌انگیز با مرزهای پیچیده و پر از الگوهای تکراری به‌دست می‌آید. هرچه بیشتر زوم کنیم، باز هم جزئیات جدید و حیرت‌انگیزی می‌بینیم. این مجموعه نشان می‌دهد که چگونه یک قانون ساده می‌تواند شکلی بی‌نهایت زیبا و پر از جزئیات ایجاد کند.

فراکتال‌ها تنها مفاهیمی انتزاعی در ریاضیات نیستند، بلکه در بسیاری از حوزه‌های علمی و صنعتی کاربردهای گسترده‌ای دارند. از گرافیک کامپیوتری تا زیست‌شناسی، مهندسی و معماری، این ساختارهای شگفت‌انگیز به ما کمک می‌کنند تا پیچیدگی‌های طبیعت را بهتر درک کنیم. در ادامه، برخی از مهم‌ترین کاربردهای فراکتال‌ها در دنیای واقعی را بررسی می‌کنیم.

• معماری: یکی از مهم‌ترین کاربردهای فراکتال‌ها را می‌توانیم در معماری، به‌خصوص معماری سنتی ایرانی، مشاهده کنیم. گنبدهای مقرنس، کاشی‌کاری‌های هندسی و نقوش اسلیمی، همگی نمونه‌هایی از ساختارهای فراکتالی هستند که در مقیاس‌های مختلف تکرار می‌شوند. این ویژگی، نه‌تنها زیبایی بصری خاصی به بناها می‌بخشد، بلکه از نظر مهندسی نیز موجب پایداری و تعادل سازه می‌شود.

• گرافیک کامپیوتری و فشرده‌سازی تصویر: فراکتال‌ها نقشی کلیدی در گرافیک کامپیوتری دارند و برای ایجاد بافت‌های طبیعی، مناظر دیجیتالی و جلوه‌های ویژه استفاده می‌شوند.
• تحلیل مالی و پیش‌بینی بازار: در تحلیل تکنیکال بازارهای مالی، از الگوهای فراکتالی برای شناسایی روندهای تکرارشونده و پیش‌بینی نقاط تغییر بازار استفاده می‌شود. شاخص‌هایی مانند فراکتال ویلیامز به معامله‌گران کمک می‌کنند تا براساس الگوهای کندل استیک، نقاط ورود و خروج مناسب را شناسایی کنند.
• نظریه‌‌ آشوب: فراکتال‌ها با نظریه‌‌ی آشوب هم پیوند عمیقی دارند. نظریه‌ی آشوب به ما می‌گوید که سیستم‌های به‌ظاهر بی‌نظم، مانند آب‌وهوا یا حرکت سیالات، از الگوهای پنهانی پیروی می‌کنند که به تغییرات کوچک بسیار حساس هستند. ساختارهای خودمتشابه و پیچیده‌‌ی فراکتال‌ها به دانشمندان کمک می‌کند تا رفتارهای آشوبناک را مدل‌سازی کنند.

مهدیه یوسفی

نظریه آشوب و اثر پروانه‌ای به زبان ساده؛ وقتی تغییرات کوچک، جهان را تکان می‌دهند

مطالعه '21

• پزشکی و زیست‌شناسی: فراکتال‌ها در ساختارهای طبیعی مانند ریه‌ها، عروق خونی و حتی DNA دیده می‌شوند. این ساختارهای شاخه‌ای به افزایش سطح تبادل مواد در یک حجم محدود، کمک می‌کنند. همچنین، تحلیل فراکتالی در تصویربرداری پزشکی می‌تواند برای تشخیص بیماری‌هایی مانند سرطان مفید باشد.
• طراحی آنتن‌های پیشرفته: آنتن‌های فراکتالی، به‌دلیل خودمتشابهی، می‌توانند در چندین باند فرکانسی، عملکرد بهینه‌ای داشته باشند. این ویژگی، باعث طراحی آنتن‌های کوچک‌تر و کارآمدتر با قابلیت دریافت و ارسال سیگنال، در فرکانس‌های مختلف می‌شود.

ایده‌ی خودمتشابهی و ارتباطش با طبیعت، داستانی طولانی‌تر دارد که به سال‌ها قبل از بنوا مندلبرو (Benoit Mandelbrot)، پدر هندسه‌ی فراکتالی، برمی‌گردد. تفکرات گوتفرید لایبنیتس، فیلسوف و ریاضیدان بزرگ آلمانی، در مورد خودهمانندی، بی‌نهایت‌ها و ساختارهای بازگشتی، زمینه‌های فکری و ریاضی را برای توسعه‌ی نظریه فراکتال‌ها فراهم آورد. در سال ۱۸۷۲، کارل وایرشتراس، ریاضی‌دان آلمانی و معروف به پدر آنالیز مدرن، تابعی را معرفی کرد که باوجود پیوستگی در همه‌جا، در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیر نبود؛ شکلی که بعدها به‌عنوان یکی از نخستین نمونه‌های ریاضی فراکتال شناخته شد؛ اما این ایده‌ها فقط به دنیای ریاضی محدود نبودند.

Wikipedia

اثر معروف موج عظیم کاناگاوا از کاتسوشیکا هوکوسائی، مفهوم خودمتشابهی را در دل امواج خروشان به تصویر کشید. شاید این اثر یک فراکتال کامل نباشد، اما ویژگی‌های فراکتالی را در خود دارد. جزئیات پیچیده‌ی امواج و الگوهای تکرارشونده‌ی آن‌ها، به زیبایی نشان می‌دهند که طبیعت سرشار از ساختارهای خودمتشابه است.

Wikipedia

اما نقطه‌ی عطف واقعی در درک و توسعه‌ی هندسه‌ی فراکتالی، به کارهای مندلبرو در دهه‌ی ۱۹۶۰ برمی‌گردد. او در شرکت IBM، با الهام از پژوهش‌های گاستون ژولیا در زمینه‌ی چندجمله‌ای‌های تکرارشونده، از قدرت محاسباتی کامپیوترها برای مدل‌سازی و تجسم ساختارهای پیچیده استفاده کرد. او در سال ۱۹۶۷، مقاله‌ی پیشگامانه‌ی خود را با عنوان «طول ساحل بریتانیا چقدر است؟» منتشر کرد و نشان داد که طول یک خط ساحلی به مقیاس اندازه‌گیری وابسته است؛ هرچه مقیاس کوچک‌تر باشد، طول اندازه‌گیری‌شده بیشتر خواهد شد.

این پدیده که به «پارادوکس خط ساحلی» معروف شد، اثباتی بر ناکارآمدی هندسه‌ی اقلیدسی در توصیف اشکال نامنظم طبیعت بود و راه را برای توسعه‌ی هندسه‌ی فراکتالی هموار کرد.

آیا کسی هست که فراکتال‌ها را دوست نداشته باشد؟ این ساختارهای شگفت‌انگیز، ترکیبی از سادگی و پیچیدگی هستند و اغلب الگوهایی دارند که تا بی‌نهایت تکرار می‌شوند. برنامه‌نویسان علاقه‌ی خاصی به فراکتال‌ها دارند، زیرا با چند خط کد ساده می‌توانند تصاویری خلق کنند که بسیار پیچیده‌تر از هر چیزی است که بتوان با دست طراحی کرد.

در بخش قبل با تعریف فراکتال و تاریخچه‌ی آن آشنا شدیم، اما آیا واقعاً می‌دانیم فراکتال چیست؟ بسیاری از افراد فکر می‌کنند که فراکتال‌ها، شکل‌هایی کاملاً خودمتشابه هستند؛ یعنی اگر روی آن‌ها زوم کنیم، نسخه‌ای دقیقاً مشابه شکل اصلی را خواهیم دید.

به‌عنوان مثال، برف‌دانه‌ی کخ (Von Koch Snowflake) از سه قسمت تشکیل شده و در هر مقیاسی که به آن نگاه کنیم، دقیقاً همان شکل اولیه را بازتولید می‌کند. به‌طور مشابه، مثلث سرپینسکی (Sierpinski Triangle) از سه نسخه‌ی کوچک‌تر و کاملاً مشابه خودش ساخته شده است.

Beltoforoin

اگرچه الگوهای خودمتشابه جذاب و زیبا هستند، اما دیدگاه مندلبرو، فراتر از این بود. او به‌دنبال مفهومی بود که نه فقط از نظر بصری زیبا باشد، بلکه بتواند ناهمواری‌ها و بی‌نظمی‌های طبیعت را هم مدل‌سازی کند.

هندسه‌ی فراکتالی در برخی موارد، دیدگاه حساب دیفرانسیل و انتگرال را به چالش می‌کشد. در این شاخه از ریاضیات، فرض بر آن است که با بزرگ کردن یک شکل، در نهایت به سطحی کاملاً صاف و هموار می‌رسیم؛ اما مندلبرو این دیدگاه را بیش از حد ساده‌شده می‌دانست.

به نظر او، چنین مدلی جزئیات ریز و مهم را نادیده می‌گیرد؛ جزئیاتی که در بسیاری از موارد، نقش کلیدی دارند. جالب است بدانید که هندسه‌ی فراکتالی برای توصیف پیچیدگی‌های دنیای واقعی ایجاد شد، نه برای ایجاد مدل‌های کاملاً منظم و ایدئال.

طبیعت سرشار از ناهمواری و بی‌نظمی است، اما در همین آشفتگی‌ها، الگوهای پنهانی وجود دارند که هندسه‌ی فراکتالی آن‌ها را آشکار می‌کند. برخلاف حساب دیفرانسیل که تلاش می‌کند دنیا را هموار و ساده نشان دهد، هندسه‌ی فراکتالی می‌گوید: همه‌چیز همیشه مرتب و صاف نیست، اما این به معنای بی‌نظمی کامل هم نیست.

وقتی به یک خط، یک مربع یا یک مکعب فکر می‌کنیم، به‌سادگی می‌توانیم بگوییم که هرکدام به‌ترتیب یک، دو و سه بُعد دارند. اما در هندسه‌ی فراکتالی، مفهوم بُعد کمی عجیب‌تر می‌شود. اینجا دیگر ابعاد همیشه عدد صحیح نیستند، بلکه می‌توانند اعدادی اعشاری باشند.

به‌عنوان مثال، بُعدِ مثلث سرپینسکی حدود ۱٫۵۸۵ است و منحنی فون‌کخ، بُعدی نزدیک به ۱٫۲۶۲ دارد. حتی شکل‌هایی که در طبیعت می‌بینیم، مانند خط ساحلی بریتانیا، بعدی کسری دارند. یعنی این اشکال، چیزی بین یک‌بعد و دوبعد هستند.

به‌طور کلی، در هندسه‌ی فراکتالی، می‌توان شکل‌هایی داشت که بُعد آن‌ها هر عدد حقیقی مثبتی باشد، نه فقط اعداد صحیح. این ویژگی، یکی از شگفت‌انگیزترین تفاوت‌های فراکتال‌ها با هندسه‌ی کلاسیک محسوب می‌شود و نشان می‌دهد که دنیا خیلی پیچیده‌تر از آن چیزی است که با خطوط ساده و سطوح صاف توصیف شود.

اگر یک دانشجوی تازه‌کار جبر خطی باشید، احتمالاً با این حرف که ابعاد باید اعداد طبیعی باشند، کاملاً موافقید. پس اینکه کسی بگوید «بُعد این شکل برابر ۱٫۵۸۵ است» عجیب و غیرمنطقی به‌نظر می‌رسد. اما اینجا یک نکته‌ی جالب وجود دارد: تمام مفاهیم ریاضی ساختگی هستند. این مفاهیم را برای درک بهتر جهان، تعریف می‌کنیم.

سؤال اصلی در مورد واقعی بودن بُعد کسری نیست، بلکه آن است که آیا می‌تواند در توصیف جهان به ما کمک کند. پاسخ، برخلاف انتظار، یک بله‌ی قاطع است. فراکتال‌ها ثابت کرده‌اند که این مفهومِ ظاهراً عجیب، ابزاری قدرتمند برای مدل‌سازی بسیاری از پدیده‌های پیچیده‌ی طبیعی است.

پس از درک مفهوم بُعد فراکتالی، متوجه خواهید شد که این ایده در همه‌جا حضور دارد. اما برای شروع، بهتر است ابتدا سراغ شکل‌های کاملاً خودمتشابه برویم، یعنی اشکالی که اگر آن‌ها را به بخش‌های کوچک‌تر تقسیم کنیم، هر بخش دقیقاً نسخه‌ای کوچک‌تر از شکل اصلی خواهد بود.

برای انجام این کار، یک خط، یک مربع، یک مکعب و یک مثلث سرپینسکی را در نظر می‌گیریم. سه مورد اول اصلاً فراکتال نیستند، اما همگی خودمتشابهند.

• یک خط را در نظر بگیرید. اگر آن را از وسط نصف کنیم، دو بخش جدید، هرکدام نسخه‌ای کوچک‌تر از خط اصلی خواهند بود.

• یک مربع را می‌توان به چهار مربع کوچک‌تر تقسیم کرد که ضلع هرکدام دقیقاً نصف ضلع مربع اصلی‌ است.

• یک مکعب را می‌توان به هشت مکعب کوچک‌تر شکست، که هرکدام نسخه‌ی کوچک‌شده‌ی مکعب اولیه هستند.

• مثلث سرپینسکی از سه نسخه‌ی کوچک‌ترِ خودش ساخته شده است که دقیقاً نصف اندازه‌ی مثلث اصلی هستند.

در ادامه، وارد بخش جالب ماجرا می‌شویم: چگونه این اشکال را اندازه‌گیری می‌کنیم؟ مقایسه‌ی روش‌های مختلف اندازه‌گیری، درک ما را از مفهوم بُعد کاملاً تغییر می‌دهد. با توجه به تصاویر فوق:

• اگر یک خط را نصف کنیم، طول هر قسمت، نصف طول خط اصلی خواهد بود.
• اگر یک مربع را به چهار قسمت تقسیم کنیم، مساحت هر مربع جدید، یک‌چهارم مساحت مربع اولیه خواهد شد.
• اگر یک مکعب را به هشت مکعب کوچک‌تر بشکنیم، حجم هرکدام یک‌هشتم حجم مکعب اصلی می‌شود.

در مورد مثلث سرپینسکی چطور؟ روش اندازه‌گیری آن کمی متفاوت است و در ادامه درباره‌اش صحبت خواهیم کرد.

به یک واژه‌ی کلی نیاز داریم که بتواند مفهوم طول، مساحت و حجم را دربربگیرد و برای همه‌ی این اشکال و حتی فراتر از آن قابل‌ استفاده باشد. در ریاضیات معمولاً از اصطلاح اندازه (Measure) استفاده می‌شود، اما شاید جِرم انتخاب بهتری باشد؛ زیرا درک آن شهودی‌تر و ملموس‌تر است. تصور کنید شکل‌های نشان داده‌شده در تصاویر بالا از فلز ساخته شده‌اند: سیمی باریک، صفحه‌ای نازک، مکعبی جامد و توری فلزی پیچیده به‌شکل مثلث سرپینسکی.

بُعد فراکتالی دقیقاً به این موضوع مربوط می‌شود که چگونه جرم اشکال با تغییر اندازه‌ی آن‌ها، تغییر می‌کند. بررسی اشکال کاملاً خودمتشابه، به ما یک راه ساده و دقیق می‌دهد تا تغییرات را با هم مقایسه کنیم و بفهمیم که مفهوم بُعد، چیزی فراتر از یک عدد ساده است.

وقتی یک خط را نصف کنیم، جرم آن هم نصف می‌شود. این را به‌وضوح می‌توان دید، زیرا برای ساختن خط اصلی، دقیقاً به دو نسخه‌ی کوچک‌تر نیاز داریم.

اگر اضلاع یک مربع را نصف کنیم، جرمش به یک‌چهارم کاهش می‌یابد. این را می‌توان به‌سادگی دید؛ زیرا برای ساختن مربع اصلی، چهار مربع کوچک‌تر کنار هم قرار می‌گیرند.

همین الگو در مورد مکعب هم صدق می‌کند؛ اگر طول هر ضلع مکعب را نصف کنیم، جرم آن به یک‌هشتم (یا ۱/۲ به توان سه) کاهش می‌یابد، چراکه برای بازسازی مکعب اصلی، هشت مکعب کوچک‌تر لازم است.

اگر هر ضلع یک مثلث سرپینسکی را نصف کنیم، سه مثلث کوچک‌تر خواهیم داشت. پس منطقی به نظر می‌رسد که بگوییم جرم آن به یک‌سوم کاهش می‌یابد، چراکه دقیقاً سه نسخه‌ی کوچک‌تر از آن لازم است تا شکل اصلی را بازسازی کنیم. اما یک نکته‌ی جالب را در نظر بگیرید: در مورد خط، مربع و مکعب، مقدار کاهش جرم همیشه، یک‌دوم به توان یک عدد صحیح است.

• در خط، جرم به یک‌دوم کاهش می‌یابد (یعنی 1^(1/2))
• در مربع، جرم به یک‌چهارم کاهش می‌یابد (یعنی 2^(1/2))
• در مکعب، جرم به یک‌هشتم کاهش می‌یابد (یعنی 3^(1/2))

در واقع، این توان (۱، ۲ و ۳) بُعد هندسی یک شکل را مشخص می‌کند. یعنی اگر با تغییر مقیاس، جرم شکل، متناسب با مربع ضریب مقیاس (توان دو) تغییر کند، آن شکل دو‌بعدی است. همچنین، اگر جرم متناسب با مکعب ضریب مقیاس (توان سه) تغییر کند، آن شکل سه‌بعدی خواهد بود. با این تعریف، بُعد مثلث سرپینسکی چیست؟

اگر این مثلث را نصف کنیم، جرم آن باید به یک‌سوم کاهش یابد. در نتیجه، اگر جرم مثلث سرپینسکی برابر M باشد، جرم هر مثلث کوچک برابر 1/3M خواهد بود. از طرفی، براساس تعریف بُعد، کاهش جرم باید برابر با یک‌دوم به توان بُعد هندسی شکل باشد. بنابراین، مقدار D در تصویر زیر، بُعد مثلث سرپینسکی است.

چگونه مقدار D را به‌دست می‌آوریم؟ برای به‌دست آوردن D، از دو طرف معادله‌‌ی نشان داده‌شده در تصویر بالا، لگاریتم در مبنای ۲ می‌گیریم (log2). با انجام این کار، مقدار تقریبی D برابر ۱٫۵۸۵ به‌دست می‌آید. بنابراین، بُعد مثلث سرپینسکی بین ۱ و ۲ است؛ نه کاملاً یک‌بعدی، نه کاملاً دوبعدی.

مثلث سرپینسکی، یک‌بعدی نیست. اگرچه می‌توان مسیری روی آن رسم کرد که از تمام نقاطش عبور کند، اما فقط یک خط نیست. همچنین، نمی‌توانیم این مثلث را دوبعدی در نظر بگیریم؛ زیرا هرچند روی صفحه قرار دارد، تمام سطح را پر نمی‌کند. در واقع، بُعد آن عددی بین یک و دو و برابر ۱٫۵۸۵ است.

حالا اگر بخواهیم جرم مثلث را توصیف کنیم، طول و مساحت هیچ‌کدام معیار درستی نیستند؛ اگر بخواهیم طولش را حساب کنیم، مقدارش بی‌نهایت می‌شود. اگر سراغ مساحتش برویم، مقدارش صفر خواهد بود. در نتیجه، برای این نوع شکل‌ها، باید به سراغ مفهومی جدید برویم: چیزی که متناسب با بُعد ۱٫۵۸۵ باشد.

عجیب به نظر می‌رسد، اما تمام این محاسبات، تنها براساس مقیاس‌بندی و مقایسه‌ی جرم، هنگام کوچک‌سازی انجام شده است.

تا اینجا در مورد بُعد شکل‌های خودمتشابه یا بُعد خودمتشابه صحبت کردیم. با کمک این مفهوم، ایده‌ی ابعادِ اعشاری و کسری منطقی‌تر به‌نظر می‌رسند. اما یک مشکل بزرگ وجود دارد: این تعریف خیلی کلی نیست؛. زیرا در استدلال‌هایمان، به شباهت در مقیاس‌های کوچک تکیه کرده‌ایم. یعنی یک شکل را می‌توانیم از نسخه‌های کوچک‌تر خودش بسازیم. اما این شرط، محدودیت بزرگی ایجاد می‌کند.

در واقع، بیشتر شکل‌های دو‌بعدی هیچ شباهتی به نسخه‌های کوچک‌تر خودشان ندارند. آیا می‌توان راهی برای تعریف بُعد برای شکل‌هایِ غیرخودمتشابه پیدا کرد؟ در ادامه، در این مورد صحبت می‌کنیم.

فرض کنید یک دایره به‌صورت نشان داده‌شده در تصویر زیر داریم. این شکل، دوبعدی است؛ چرا؟ زیرا اگر اندازه‌ی آن را دو برابر کنیم، جرمش (یا مساحتش) چهار برابر می‌شود. یعنی مقدار افزایش جرم، متناسب با توانِ دوم ضریب مقیاس است.

اما باید به یک نکته‌ توجه کنیم؛ برخلاف شکل‌های خودمتشابه، نمی‌توان چهار نسخه‌ی کوچک‌تر از این دایره را کنار هم گذاشت و دایره‌ی اصلی را دقیقاً بازسازی کرد. پس چطور می‌فهمیم که جرم دایره‌ی بزرگ‌تر دقیقاً چهار برابر جرم دایره‌ی کوچک‌تر است؟

برای پاسخ دادن به این پرسش، باید مفهوم جرم را کمی دقیق‌تر و ریاضی‌تر بررسی کنیم. در این مطلب، با اجسام فیزیکی‌ای که از ماده تشکیل شده‌اند سروکار نداریم، بلکه با موجوداتی کاملاً هندسی در فضایی انتزاعی طرف هستیم.

راه‌های مختلفی برای درک این موضوع وجود دارند، اما یکی از رایج‌ترین روش‌ها آن است که صفحه‌ای را که دایره‌ای با شعاع واحد روی آن رسم شده، با شبکه‌ای مربعی، به‌صورت نشان داده‌شده در تصویر، بپوشانیم. سپس، تمام مربع‌هایی را که با دایره برخورد دارند و آن را به‌طول کامل می‌پوشانند، می‌شماریم.

در ذهنمان می‌دانیم که دایره، شکلی دوبعدی است و تعداد مربع‌هایی که به آن برخورد می‌کنند، باید متناسب با مساحتش باشد.

یک راه هوشمندانه برای آزمایش این ایده، آن است که دایره را با ضریبی مشخص، مثلاً دو برابر، بزرگ کنیم و دوباره تعداد مربع‌ها را بشماریم. اگر این فرض درست باشد، تعداد مربع‌های جدید، تقریباً به اندازه‌ی مربع ضریب بزرگ‌نمایی یا ضریب مقیاس (یعنی ۲^۲) افزایش می‌یابد؛ یعنی در این مورد، حدود چهار برابر می‌شود.

شاید آنچه در دو تصویر بالا می‌بینید چندان قانع‌کننده به‌نظر نرسد، که دلیلش به بزرگ بودن مربع‌های تشکیل‌دهنده‌ی شبکه برمی‌گردد. در این حالت، قسمتی از مربع‌ها، خارج از دایره قرار می‌گیرند که دقت اندازه‌گیری را کاهش می‌دهد.

اگر به‌جای یک شبکه‌ی درشت، از شبکه‌ای با مربع‌های کوچک‌تر استفاده کنیم که دقت بیشتری در اندازه‌گیری دایره دارند، رابطه‌ی چهار برابر شدن تعداد مربع‌های در تماس با دایره (هنگامی که اندازه‌ی آن را دو برابر می‌کنیم) واضح‌تر خود را نشان می‌دهد. جالب است بدانید که مقدار ۳٫۳۹، با آهنگی بسیار آهسته به ۴ نزدیک می‌شود.

اگر تعداد مربع‌ها را برحسب ضریب مقیاس رسم کنیم، نموداری شبیه به سهمی خواهیم داشت. همان‌طور که در تصویر زیر مشاهده می‌کنید، با افزایش تعداد مربع‌ها و کاهش اندازه‌ی آن‌ها،‌ نقاط رسم‌شده، بهتر روی نمودار سهمی قرار می‌گیرند که نشان می‌دهد رابطه‌ی بین مقیاس و تعداد مربع‌هایی که روی شکل (اینجا دایره) قرار می‌گیرند، از الگوی مشخصی پیروی می‌کند.

حالا برگردیم به دنیای فراکتال‌ها. در ادامه، روش فوق را در مورد فراکتال‌ها و مثلث سرپینسکی، بررسی می‌کنیم و تعداد مربع‌هایی که مثلث را دربرمی‌گیرند، به‌دست می‌آوریم. به‌نظر شما اگر مثلت را دوبرابر کنیم، تعداد مربع‌ها چه تغییری می‌کند؟ نسبت مربع‌های لمس‌شده در مثلث بزرگ‌تر به مثلث کوچک‌تر تقریباً سه برابر می‌شود. چرا؟ چون نسخه‌ی بزرگ‌تر از سه نسخه‌ی کوچک‌تر، ساخته شده است.

راه دیگر برای درک این موضوع استفاده از مفهوم بُعد فراکتالی است. تعداد مربع‌هایی که با شکل برخورد دارند، تقریباً برابر با ۲ به توان بُعد مثلث سرپینسکی، ۱٫۵۸۵، است. این یعنی رشد تعداد مربع‌ها نه مانند یک شکل دوبعدی است که با مجذور ضریب مقیاس افزایش یابد و نه مانند یک خط یک‌بعدی که مستقیماً با ضریب مقیاس تغییر کند؛ بلکه رفتاری میان این دو دارد و همین ویژگی، فراکتال‌ها را به ساختارهایی منحصر‌به‌فرد و شگفت‌انگیز تبدیل می‌کند.

با رسم ضریب مقیاس برحسب تعداد مربع‌های دربرگیرنده‌ی مثلث سرپینسکی، داده‌ها به‌خوبی روی منحنی با رابطه‌ی (y =c x^(1.585 قرار می‌گیرند. این تابع نشان می‌دهد که تعداد مربع‌ها، متناسب با ضریب مقیاس‌ به توان ۱٫۵۸۵ (بُعد مثلث سرپینسکی) رشد می‌کند. البته، ضریب تناسب c هم در این رابطه وجود دارد که به ویژگی‌های خاص شبکه و مقیاس اولیه بستگی دارد.

روش شمارش مربع‌ها که در بخش قبل توضیح داده شد، فقط برای فراکتال‌های خودمتشابه مانند مثلث سیرپینسکی، استفاده نمی‌شود. بلکه همین تحلیل را روی اشکالی که کاملاً خودمتشابه نیستند، اما زبری و بی‌نظمی دارند نیز می‌توان انجام داد.

یکی از معروف‌ترین مثال‌ها در این زمینه، خط ساحلی بریتانیا است، که به‌دلیل ساختار پیچیده و نامنظمش، می‌توان آن را مانند یک فراکتال تحلیل کرد.

با زوم کردن روی خط ساحلی بریتانیا، می‌بینید که هر تصویر داخل قاب سفید، بخشی از تصویر قبلی است. اگرچه این شکل دقیقاً خودمتشابه نیست، اما در هر مقیاس همان الگوی ناهموار و دندانه‌دار را حفظ می‌کند.

فرض کنید عکسی از خط ساحلی بریتانیا دارید. روی این عکس یک شبکه‌ی مربعی بگذارید و تعداد مربع‌هایی که خط ساحلی را لمس می‌کنند، بشمارید. در ادامه، تصویر را با ضریبی مشخص بزرگ کنید و بار دیگر تعداد مربع‌ها را بشمارید.

نتیجه جالب است: هرچه بیشتر زوم کنید، تعداد مربع‌هایی که ساحل را لمس می‌کنند، افزایش پیدا می‌کند و این افزایش تقریباً متناسب با مقدار زوم (ضریب مقیاس) به توان ۱٫۲۱ است.

سؤالی که شاید از خودتان بپرسید آن است که چگونه این مقدار را می‌توان به‌دست آورد. اگر به شما یک شکل بدهند و بگویند این عدد را محاسبه کنید، چه راهی به ذهنتان می‌رسد؟ شما یک برنامه‌نویس باهوش هستید، پس شاید این کار را انجام دهید:

• یک شبکه‌ی مربعی روی تصویر می‌گذارید و مربع‌های قرارگرفته روی شکل را می‌شمارید.
• تصویر را با ضریبی مشخص (مثلاً ۲ برابر) زوم می‌کنید و دوباره همین کار را انجام می‌دهید.
• تعداد مربع‌ها را برای چند بزرگ‌نمایی‌ یادداشت می‌کنید.
• اگر رابطه‌ی بین ضریب مقیاس و تعداد مربع‌ها به شکل یک توان خاص باشد، این توان همان بُعد فراکتالی است.

به زبان ساده، اگر این شکل را با ضریبی مانند s بزرگ یا کوچک کنیم، تعداد مربع‌هایی که با آن برخورد دارند، به‌صورت cs^(d) تغییر می‌کند. d همان عددی است که به‌دنبالش هستیم و بُعد فراکتالی شکل را نشان می‌دهد. به‌دست آوردن مقدار d کار راحتی نیست، اما نباید ناامید شویم، زیرا یک ترفند هوشمندانه وجود دارد: گرفتن لگاریتم از دو طرف معادله.

همان‌طور که می‌دانیم تعداد مربع‌ها با تغییر مقیاس، به‌صورت زیر تغییر می‌کند:

با گرفتن لگاریتم از طرفین رابطه‌ی فوق داریم:

log (N) = log (c) + d log (s)

نمودار log (N) را برحسب log(s)، خطی مستقیم با شیب d است. به‌ این ترتیب، مقدار d یا همان بُعد را به‌دست می‌آوریم.

این روش، مفهوم بُعد فراکتالی را از یک ایده‌ی انتزاعی و نظری به چیزی ملموس و واقعی تبدیل می‌کند؛ چیزی که می‌توان آن را اندازه گرفت، رسم و تحلیل کرد. اگر این ایده برایتان جا افتاده است، آماده‌اید تا تعریف واقعی فراکتال را بخوانید.

در دنیای هندسه‌ی معمولی، همه‌ی اشکال یک بُعد مشخص و صحیح دارند: خط یک‌بعدی، مربع دو‌بعدی و مکعب سه‌بعدی است. اما فراکتال‌ها از این قاعده پیروی نمی‌کنند؛ آن‌ها ابعادی بین این اعداد دارند.

چرا این موضوع جالب است؟ زیرا به ما کمک می‌کند تا درک کنیم که فراکتال‌ها اشکالی زبر و پرجزئیات هستند که هرچه روی آن‌ها زوم کنیم، باز هم این پیچیدگی و زبری از بین نمی‌رود؛ زیرا نظم آن‌ها در بی‌نظمی‌شان است.

البته تعریف دقیق‌تری هم برای فراکتال‌ها وجود دارد که در منابع ریاضی به آن پرداخته شده، اما همین ایده‌ی بُعد غیرصحیح، تقریباً تمام چیزی است که برای درک مفهوم زبری و پیچیدگی فراکتال‌ها نیاز دارید. بُعد فراکتالی که با روش شمارش مربع‌ها به‌دست می‌آید، شاید بسته به میزان زوم، تغییر کند؛ یعنی حتی در دنیای ریاضیات، دید ما نسبت به ابعاد می‌تواند نسبی باشد.

این دقیقاً همان چیزی است که در دنیای واقعی اتفاق می‌افتد. خط ساحلی، رودخانه یا حتی رشته‌کوه، در مقیاس‌های مختلف رفتار متفاوتی از خود نشان می‌دهند. از دور، شاید یک منحنی ساده و بدون زبری به‌نظر برسند، اما با بررسی دقیق‌تر در فاصله‌ای کمتر (زوم کردن)، متوجه زبری و پیچیدگی‌های ظریفی می‌شویم که در ابتدا دیده نمی‌شدند.

به مثال خط در فضای سه‌بعدی برمی‌گردیم. اگر بخواهیم بُعد فراکتالی آن را پیدا کنیم، از روش شمارش جعبه‌ها استفاده می‌کنیم، اما این‌بار به‌جای یک شبکه‌ی دو‌بعدی از مربع‌ها، یک شبکه‌ی سه‌بعدی از مکعب‌های کوچک خواهیم داشت.

• مرحله‌ی اول: وقتی از دور نگاه می‌کنیم

در این مقیاس، چون اندازه‌ی مکعب‌ها از ضخامت شکل بزرگ‌تر باشد، این شکل مانند یک خط یک‌بعدی به‌نظر می‌رسد. در چنین حالتی، تعداد مکعب‌هایی که شکل را لمس می‌کنند، متناسب با طول آن است.

• مرحله‌ی دوم: وقتی کمی زوم می‌کنیم

وقتی شکل را بزرگ‌تر کنیم، شبیه یک لوله می‌شود؛ یعنی تعداد مکعب‌های در تماس با آن، بیشتر به سطح محدود می‌شود. در این حالت، شکل دو‌بعدی به‌نظر می‌رسد و تعداد مکعب‌ها، تقریباً متناسب با مربع ضریب مقیاس، رشد می‌کند. اما در حقیقت، یک لوله‌ی صاف و ساده نیست، بلکه از پیچ‌وخم‌های ریز و درهم‌تنیده‌ای تشکیل شده است.

• مرحله‌ی سوم: زوم بیشتر و آشکار شدن جزئیات

با زوم یا بزرگ‌نمایی بیشتر، متوجه می‌شویم که این شکل، یک لوله‌ی ساده نیست، بلکه از منحنی‌های پیچیده و درهم‌تنیده تشکیل شده است. در این سطح از جزئیات، شکل دوباره مانند یک خط رفتار می‌کند؛ یعنی تعداد مکعب‌های لمس‌شده این بار مستقیماً با ضریب مقیاس تناسب دارد.

تعیین بُعد یک شکل همیشه کار ساده‌ای نیست، چون بسته به مقیاس و روش اندازه‌گیری، مقدار آن می‌تواند تغییر کند. در ریاضیات محض، تعاریف متعددی برای بُعد وجود دارد، اما همه‌ی آن‌ها در نهایت به این موضوع می‌پردازند که وقتی بی‌نهایت زوم کنیم، این مقدار به چه حدی میل می‌کند.

در دنیای واقعی، مانند خط ساحلی بریتانیا، نمی‌توان تا بی‌نهایت زوم کرد، چون در نهایت به سطح اتمی می‌رسیم. پس برای بررسی فراکتال‌ها، بُعد را در بازه‌ای از مقیاس‌ها اندازه می‌گیریم. اگر این مقدار تقریباً ثابت بماند، آن شکل را فراکتالی در نظر می‌گیریم.

به‌عنوان مثال، خط ساحلی بریتانیا همیشه به یک اندازه پیچیده به نظر می‌رسد، فرقی ندارد از دور نگاه یا هزار برابر زوم کنید؛ میزان زبری آن تقریباً ۱٫۲۱ باقی می‌ماند. این یعنی بعضی از شکل‌های طبیعی در مقیاس‌های مختلف، ویژگی‌های مشابهی دارند، هرچند کاملاً همسان نیستند.

البته در هندسه‌ی فراکتالی، بعضی شکل‌ها واقعاً خودمتشابه هستند، یعنی هرچقدر زوم کنیم، الگوهای تکراری را می‌بینیم. این شکل‌ها نمونه‌های ساده‌ای از مفهوم زبری در مقیاس‌های بی‌نهایت کوچک و بزرگ هستند و به ما کمک می‌کنند پدیده‌های فراکتالی را بهتر درک کنیم.

اما فراکتال‌ها خیلی متنوع‌تر هستند. وقتی مفهوم بُعدِ کسری را درک کنید، متوجه می‌شوید که می‌توان با یک عدد، میزان پیچیدگی و زبری یک شکل را اندازه گرفت. به‌عنوان مثال، خط ساحلی نروژ با بعد ۱٫۵۲ خیلی پرپیچ‌وخم‌تر از بریتانیا است. یا سطح یک اقیانوس آرام تقریباً بعدی برابر ۲ دارد، اما در طوفان، به ۲٫۳ نزدیک می‌شود. این یعنی فراکتال‌ها فقط یک مفهوم ریاضی نیستند، بلکه در طبیعت هم به‌وضوح دیده می‌شوند.

فراکتال‌ها، به‌عنوان ساختارهایی خودمتشابه و تکرارشونده، پلی میان سادگی ریاضیاتی و پیچیدگی طبیعت و علوم ایجاد می‌کنند. این اشکال، که در ابعادی فراتر از هندسه‌ی اقلیدسی تعریف می‌شوند، از شبکه‌ی شاخه‌های درختان و خطوط ساحلی تا مدل‌های ریاضی مانند مجموعه‌ی مندلبرو را دربرمی‌گیرند.

تحلیل فراکتالی نه‌تنها به ما کمک می‌کند تا نظم پنهان در سیستم‌های آشوبناک را درک کنیم، بلکه در زیست‌شناسی، مهندسی و تحلیل داده‌ها نیز ابزارهای قدرتمندی ارائه می‌دهد. مطالعه‌ی این ساختارها نشان می‌دهد که چگونه قوانین ساده می‌توانند پدیده‌هایی شگفت‌انگیز و پرجزئیات، خلق کنند و دید ما را نسبت به الگوهای بنیادین حاکم بر جهان، گسترش دهند.